年度解析+等級對照表
105 年會考數學解析：決勝「幾何建模」與「代數極值」
105 年會考數學是難題分佈極其密集的一年，對考生的綜合應用能力提出了極高要求。
極難題比例攀升：全卷共有 11 題通過率低於 0.5，其中更有高達 6 題落在 0.3 附近的「極難區間」。這顯示該年度在頂尖標示（A++）的爭奪上，容錯率極低。
非選幾何與代數的交會：本年度非選擇題完全由幾何題型主導，並在第二題巧妙結合了一元二次方程式來求解最大面積。這種跨單元的「二次函數應用」是典型的素養命題，測驗考生是否能將圖形性質轉化為代數算式。
NUMA 策略提醒： 105 年的破題關鍵在於「跨單元聯想」。當你在幾何圖形中遇到「最大、最小」的關鍵字時，必須立刻聯想到二次函數的頂點判斷。
等級加標示與加權分數對照表
等級加標示與答對題數對照表
各科等級加標示人數百分比統計表
105年會考-數學詳解
第一部分:選擇題(第1 ~ 25 題)
1.
答案
\((A)\)
詳解
\(-3+2\times 1=-1\)
\(-3-2\times 1\neq 1\)
\(2\times (-3)+3\times 1\neq 6\)
\(2\times (-3)-3\times 1\neq 6\)
2.
答案
\((A)\)
詳解
原式 \(=6\div6=1\)
3.
答案
\((A)\)
詳解
原式 \(=2x^2-x-1-x^2-x+2=x^2-2x+1\)
4.
答案
\((C)\)
詳解
設扇形面積為 \(x\)
\(x:100\pi=54:360\)
\(x=15\pi\)
5.
答案
\((C)\)
詳解
絕對值表示兩點之間的距離
6.
答案
\((C)\)
詳解
\(77x^2-13x-30=(7x-5)(11x+6)\)
\(a=-5, b=11, c=6\)
\(a+b+c=12\)
7.
答案
\((A)\)
詳解
甲班進 \(8\) 球的人最多,所以眾數
\(a=8\)
乙班進 \(6\) 球的人最多,所以眾數 \(b=6\)
甲班人數共有 \(5+15+20+15=55\)
人，中位數在第 \(28\)
人的進球數。
由圖可知由小到大第 \(28\) 人進 \(8\) 球，所以中位數 \(c=8\)
乙班人數共有 \(25+5+15+10=55\)人，中位數在第28人的進球數。
由圖可知由小到大第 \(28\) 人進 \(7\) 球，所以中位數 \(d=7\)
以上可得 \(a > b\), \(c > d\)
8.
答案
\((C)\)
詳解
\(\angle CED=180^\circ - \angle AEF -
\angle CEF=180^\circ - 15^\circ - 90^\circ =75^\circ\)
\(\angle B=\angle D=180^\circ - 75^\circ -
35^\circ = 70^\circ\)
9.
答案
\((B)\)
詳解
一頁為一項
小昱的數列<\(a_n\)>, \(a_1=1,\ d_1=2\)
阿帆的數列<\(b_n\)>, \(b_1=1,\ d_2=7\)
\(a_n=a_1+(n-1)\times d_1\)
\(101=1+(n-1)\times 2 \Rightarrow
n=51\)
\(b_{51}=b_1+(51-1)\times 7=1+50\times
7=351\)
10.
答案
\((B)\)
詳解
<法一>
相同色的情形有（紅，紅）、（黃，黃）
（紅，紅）的機率為 \(\frac{1}{4}\times
\frac{1}{3}=\frac{1}{12}\)
（黃，黃）的機率為 \(\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{12}\)
\(\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}\)
<法二>
如果不清楚何時機率要相乘或相加,可以全部列出來:
全部的情形有（紅,紅）(紅,黃)（紅,黑）（黃,紅）（黃,黃）（黃,黑）（綠,紅）（綠,黃）（綠,黑）（藍,紅）（藍,黃）（藍,黑）共
12 種
符合同色的情形有（紅,紅）(黃,黃) 2種
機率\(＝\frac{符合條件的數量}{總數量}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\)
11.
答案
\((D)\)
詳解
12.
答案
\((D)\)
詳解
中垂線上任一點到兩端點等距離
\(\Rightarrow
\overline{DC}=\overline{DB}\)
\(\angle{DBE}=\angle{DCE}=\angle1\)
\(\angle{ADB}=\angle{BDE}=\angle2\)
(角平分線)
\(3\angle2=180^\circ \Rightarrow
\angle2=60^\circ\)
\(\angle{ABD}=180^\circ - \angle2 - 58^\circ =
62^\circ\)
13.
答案
\((B)\)
詳解
邊長 \(=\frac{x}{4}\)
面積 \(=(\frac{x}{4})^2=20\Rightarrow
x^2=320\)
\(17^2=289\)
\(18^2=324\)
\(17^2 < x^2 < 18^2 \Rightarrow 17 <
x < 18\)
14.
答案
\((B)\)
詳解
連 \(\overline{OB}\)、\(\overline{OC}\)
\(\overline{OA}=\overline{OB}\Rightarrow
\angle OAB=\angle OBA=65^\circ\)
\(\overline{OC}=\overline{OD}\Rightarrow
\angle OCD=\angle ODC=60^\circ\)
\(\angle{AOD}=150^\circ = \angle1+\angle
BOC+\angle2\)
\(\angle BOC=150^\circ - \angle1 - \angle2
= 150^\circ - (180^\circ - 65^\circ - 65^\circ) - (180^\circ - 60^\circ
- 60^\circ)
= 40^\circ\)
15.
答案
\((D)\)
詳解
設丁的股長為 \(x\)
甲＋乙＝丙＋丁
\(\Rightarrow 2x+2x=2^2 \div 2+x^2\div
2\)
\(\Rightarrow x^2-8x+4=0\)
\(\Rightarrow x=4\pm 2\sqrt 3\)
\(4+2\sqrt 3\) 不合
16.
答案
\((D)\)
詳解
\(\overline{AP}:\overline{PD}=\overline{AQ}:\overline{QE}=4:1\)
\(\Rightarrow
\overline{PQ}//\overline{CD}\)
\(\Rightarrow q=r\)
(平行線間距離處處相等)
\(\overline{QE}=\frac15\overline{AE}\),
\(\overline{RC}=\frac15\overline{AC}\)
\(\overline{AE}<\overline{AC}\Rightarrow
\overline{QE}<\overline{RC}\)
17.
答案
\((B)\)
詳解
\(a\) 是 12，18 的公倍數，也就是 36
的倍數
又 \(a\) 介於 50~100 之間，所以 \(a=72\)
8 是 \(a\) 的因數，不是 \(b\) 的因數
18.
答案
\((D)\)
詳解
設水桶半徑 \(2r\)，鐵柱半徑 \(r\)
總水量 \(=[\pi(2r)^2 -\pi r^2]\times
12=36r^2\pi\)
\(\Rightarrow 36r^2\pi \div
\pi(2r)^2=9\)
19.
答案
\((C)\)
詳解
甲方案 \(=15000＋24x\)
乙方案 \(=13000＋24\times
600=27400\)
\(15000＋24x>27400\Rightarrow
x>516.67\)
\(x=517\)
20.
答案
\((A)\)
詳解
連 \(\overline{CE}\)
\(\overline{CE}=\overline{CD}=\frac{17}{3}\)
\(\overline{BE}=\sqrt{(\overline{CE})^2-(\overline{BC})^2}\)
\(=\sqrt{(\frac{17}{3})^2-5^2}=\frac{8}{3}\)
\(\overline{BF}=\overline{AB}-\overline{AF}=\frac{17}{3}-5=\frac{2}{3}\)
\(\overline{EF}=\overline{BE}-\overline{BF}=\frac83-\frac23=2\)
21.
答案
\((D)\)
詳解
對稱軸為 \(x=2\)
\(P\)、\(Q\) 為對稱點，中點為 \((2,0)\) \(\Rightarrow P(-1,0),Q(5,0)\)
設二次函數為 \(y=k(x-2)^2-1\)
\(P(-1,0)\) 代入得 \(k=\frac{1}{9}\)
二次函數為 \(y=\frac{1}{9}(x-2)^2-1\)
\((1,a)\) 代入得 \(a=\frac{1}{9}(1-2)^2-1\Rightarrow
a=-\frac{8}{9}\)
\((3,b)\) 代入得 \(b=\frac{1}{9}(3-2)^2-1\Rightarrow
b=-\frac{8}{9}\)
\((-1,c)\) 代入得 \(c=\frac{1}{9}(-1-2)^2-1\Rightarrow
c=0\)
\((-3,d)\) 代入得 \(d=\frac{1}{9}(-3-2)^2-1\Rightarrow
d=\frac{16}{9}\)
22.
答案
\((A)\)
詳解
\((甲)\)
\(\angle DEC\) 的角平分線恰為 \(\overline {CD}\) 的中垂線（\(\triangle CDE\)為等腰三角形）
與 \(\overline {DE}\)
中垂線交於圓心
\((乙)\)
\(\angle D=90^\circ \therefore \overline
{PC}\) 為直徑
\(\angle C=90^\circ \therefore \overline
{QD}\) 為直徑
兩直徑的交點為圓心
23.
答案
\((C)\)
詳解
\(\triangle ACF\) 為 30-60-90
直角三角形
\(\overline{AF}=2\)，\(\overline{AC}=2\sqrt 3\)，\(\overline{CF}=4\)
設 \(P\) 到三邊距離為 \(r\)
\(\triangle ACF=\frac{1}{2}\times 2\times
2\sqrt 3=\frac12(2r+4r+2\sqrt 3 r)\)
\(\Rightarrow r=\sqrt 3-1\)
\(\overline{PQ}=2r=2\sqrt 3-2\)
24.
答案
\((B)\)
詳解
如圖，切為三段：\(\overline{OA}\)、\(\overline{AA'}\)，\(\overline{A'P}\)
\(\overline{OA}:\overline{AP}=1:3\Rightarrow
\overline{OA}=\frac{1}{4}\overline{OP}\)
\(\overline{OB}:\overline{BP}=3:5\Rightarrow
\overline{OB}=\frac{3}{8}\overline{OP}\)
\(\overline{AB}=\overline{OB}-\overline{OA}=\frac{3}{8}\overline{OP}-\frac{1}{4}\overline{OP}=\frac{1}{8}\overline{OP}\)
\(\overline{A'P}=\overline{BP}-\overline{BA'}=\frac58\overline{OP}-\frac{1}{8}\overline{OP}=\frac12\overline{OP}\)
\(\overline{OA}:\overline{AA'}:\overline{A'P}=\frac14\overline{OP}:\frac14\overline{OP}:\frac12\overline{OP}=1:1:2\)
25.
答案
\((C)\)
詳解
利用中垂線性質逐一檢查 \(M、E、F、D\) 到 \(A、C\) 的距離是否相等。
\(\overline{MN}\) 明顯沒有垂直 \(\overline{AC}\) 所以排除
\(\overline{EA}=32-8=24\neq
\overline{EC}\) (因為 \(\overline{CD}=24,\overline{CE}>\overline{CD}\))，所以排除
\(\overline{EN}\)
\(\overline{FA}=32-7=25=\overline{FC}\)(合)
第二部分:非選擇題(第1 ~ 2 題)
1.
答案
見詳解
詳解
\(\angle 4=60^\circ =\angle 1+\angle
B=30^\circ + \angle B \Rightarrow \angle B=30^\circ\)
\(\angle 1=\angle B\Rightarrow
\overline{AD}=\overline{BD}\)
\(\overline{AB}=\overline{AC}\Rightarrow
\angle B=\angle C=30^\circ\)
\(\angle 2=180^\circ -\angle 1-\angle B-\angle
C=90^\circ\)
\(\triangle ACD\) 為 30-60-90
直角三角形
\(\overline{AD}:\overline{CD}=1:2\Rightarrow
\overline{CD}=2\overline{AD}=2\overline{BD}\)
2.
答案
\((1)\) \(x^2\)
\((2)\) 4
詳解
\((1)\)
\(\overline{DQ}=x\Rightarrow
\overline{PD}=2x\)
\(\triangle PDQ=x\times 2x\div
2=x^2\)
\((2)\) 五邊形 PQABR 面積
\(=正方形 ABCD - \triangle PDQ - \triangle
CPR\)
\(=12^2 - x^2 - (12-2x)^2\div 2\)
\(=-3x^2+24x+72\)
\(=-3(x-4)^2+120 \leq 120\)
\(x=4\) 時有最大值 120平方公分