年度解析+等級對照表
106 年會考數學解析：決勝「極高密度」的難題試煉
106 年會考數學試題以其「極高密度的鑑別度」著稱。與往年相比，該年度的考點分佈更為刁鑽，對考生的基本功與穩定度提出了嚴苛挑戰。
難題大爆發：全卷有高達 11 題通過率低於 0.5，幾乎每兩題就有一題屬於難題。其中更有 4 題落在 0.3~0.4 的「深水區」，極大拉開了 A 級考生的差距。
非選邏輯先決：非選擇題第一題打破了單純的算式推演，更偏向邏輯推理與情境解讀。考生若無法在考場的高壓下保持邏輯清晰，極易在此失分。
NUMA 策略提醒： 面對 106 年這種「遍地開花」的難題分佈，勝負關鍵在於考場節奏的掌控，以及是否具備看穿邏輯陷阱的敏銳度。
等級加標示與加權分數對照表
等級加標示與答對題數對照表
各科等級加標示人數百分比統計表
試題疑義
106年國中教育會考試題疑義表106年會考-數學詳解
第一部分:選擇題(第1 ~ 26 題)
1.
答案
\((C)\)
詳解
原式
\(=(-2)\times 5-3=-10-3=-13\)
2.
答案
\((A)\)
詳解
兩邊平方
\(2^2=2^2\)
\(3^3\neq 3^2\)
\(4^4\neq 4^2\)
\(5^5\neq 5^2\)
3.
答案
\((A)\)
詳解
\(6x\times (3-2x)\)
\(=6x\times 3-6x\times 2x\)
\(=18x-12x^2\)
\(=-12x^2+18x\)
4.
答案
\((D)\)
詳解
略
5.
答案
\((C)\)
詳解
\((2,a)\) 代入 \(2x+3y=7\)
\(\Rightarrow 2\times 2+3a=7\)
\(\Rightarrow a=1\)
\((2,a)=(2,1)\) 代入 \(3x-2y=b\)
\(\Rightarrow 3\times 2-2\times
1=b\)
\(\Rightarrow b=4\)
\(a+b=1+4=5\)
6.
答案
\((B)\)
詳解
機率 \(=\frac{符合條件個數}{總個數}\)
兩人任意上車的情形共有 \(5\times 5=25\)
種
兩人同一節上車的情形有
5種（同在第一節、同在第二節、...同在第五節）
同一節上車的機率 \(=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\)
7.
答案
\((C)\)
詳解
設三圓半徑分別為 \(r_a,r_b,r_c\)
\(\overline{AC}=5>r_a+r_c=4\) 所以
\(A\)、\(C\) 外離
\(\overline{BC}=4＝r_b+r_c=4\) 所以
\(B\)、\(C\) 外切
8.
答案
\((A)\)
詳解
\(252=42\times 2\times 3=(2\times 3\times
7)\times 2\times 3\)
選項中除了 \((2\times 3\times 7)\)
以外不得再有多餘的 2 or 3
只有 \((A)\) 符合
9.
答案
\((D)\)
詳解
以基準差計算較簡單：若以 \(178\)
為基準，則 \(172\) 記為 \(-6\)
設三年級員身高分別為 \(178+a\)、\(178+b\)、\(178+c\) 公分
\((-6)+(-6)+(-4)+(-4)+(-2)+(-2)+0+0+a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b+c=24\)
\(\Rightarrow 24\div 3=8\) (比 \(178\) 多出 \(8\) 公分)
\(\Rightarrow 178+8=186\)
10.
答案
\((C)\)
詳解
設買 \(x\) 根
\(9x\times 0.8\leq 200\Rightarrow
x=\frac{250}{9}\)
\(x=27\)
11.
答案
\((C)\)
詳解
共頂點三角形的面積比＝底邊長比
\(\overline{AD}:\overline{DB}=2:3\Rightarrow
\triangle ACD:\triangle BCD=2:3\)
\(\triangle ACD=\frac{2}{5}\triangle
ABC\)
\(\overline{CE}:\overline{EB}=2:3\Rightarrow
\triangle CDE:\triangle BDE=2:3\)
\(\triangle DBE=\frac{3}{5}\triangle
BCD=\frac{3}{5}\times \frac{3}{5} \triangle ABC=\frac{9}{25}\triangle
ABC\)
\(\triangle DBE:\triangle
ADC=\frac{9}{25}:\frac{2}{5}=9:10\)
12.
答案
\((A)\)
詳解
\(x^2-8x=48\)
\(\Rightarrow (x-4)^2-16=48\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=64\)
\(a=4,b=64-48=16\)
\(a+b=4+16=20\)
13.
答案
\((D)\)
詳解
\(\overline{AB}=2=\overline{CD}\)
\(C'(3,0)\Rightarrow
D'(3,2)\)
14.
答案
\((C)\)
詳解
\(L_1,L_3\) 的同側內角皆為 \(92^{\circ}\)，沒有互補，所以 \(L_1,L_3\) 不平行
\(88^{\circ}\) 的對頂角亦為 \(88^{\circ}\)
\(L_2,L_3\) 的同位角皆為 \(88^{\circ}\)，所以平行。
15.
答案
\((B)\)
詳解
設蝦仁 \(x\) 元，韭菜 \(y\) 元
\(15x=20y\Rightarrow
x=\frac{4}{3}y\)
身上的錢共有 \(20y\) 元
\(20y-9x=20y-9\times
\frac{4}{3}y=8y\)
可以買 \(8\) 粒韭菜水餃
16.
答案
\((D)\)
詳解
由圖（五）可知
\(\angle1+\angle2=180^{\circ}-124^{\circ}=56^{\circ}\)
由圖（六）可知
\(\angle
CAD=180^{\circ}-2(\angle1+\angle2)=180^{\circ}-2\times56^{\circ}=68^{\circ}\)
17.
答案
\((D)\)
詳解
\(b=a+2\)
\(ab+1=a(a+2)+1=a^2+2a+1=(a+1)^2\)
\(a+1\) 為質數+1，只有 42符合
18.
答案
\((B)\)
詳解
\(\because O\) 為外心，\(\therefore
\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}\)
四邊形 \(OCDE\) 為正方形，\(\overline{OC}=\overline{OE}\)
\(\Rightarrow
\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OE}\) \(O\) 是 \(\triangle AEB\) 的外心
\(\overline{OD}\neq
\overline{OE}\)，\(O\) 不是
\(\triangle AED\) 的外心
19.
答案
\((D)\)
詳解
\(\angle1+\angle5=180^{\circ}\)
\(\angle2+\angle5=180^{\circ}\)
\(\Rightarrow \angle1=\angle2\)
\(\angle3+\angle D+\angle
4+90^{\circ}=360^{\circ}\)
\(\Rightarrow \angle
3+85^{\circ}+(180^{\circ}-\angle2)+90^{\circ}=360^{\circ}\)
\(\Rightarrow \angle 3=\angle
2+5^{\circ}\)
\(\Rightarrow \angle 3>\angle
2\)
\(\Rightarrow \angle 3>\angle 1=\angle
2\)
20.
答案
\((C)\)
詳解
用尺量測：
\(\overline{OB}=20\times
\overline{OA}\)
\(\Rightarrow \overline{OB}=20\times
10^6=2\times 10^7\)
21.
答案
\((B)\)
詳解
\(\angle1=90^{\circ}+\angle
B=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}\) (外角定理)
\(\angle2=180^{\circ}-\angle1-30^{\circ}=30^{\circ}=\angle
D\)
\(\Rightarrow
\overline{CF}=\overline{CD}\)
同理 \(\overline{EF}=\overline{BE}\)
（等腰三角形）
\(\angle AED=60^{\circ}\)
\(\Rightarrow \overline{AD}=\sqrt 3\times
\overline{AE}=\sqrt3\)
\(\overline{CD}=\overline{AD}-\overline{AC}=\sqrt3-1\)
同理 \(\overline{BE}=\overline{AB}-\overline{AE}=\sqrt3-1\)
四邊形 \(AEFC\) 周長
\(=\overline{AE}+\overline{EF}+\overline{FC}+\overline{CA}\)
\(=1+(\sqrt3-1)+1+(\sqrt3-1)\)
\(=2\sqrt3\)
22.
答案
\((A)\)
詳解
抛物線上 \(y\)
坐標相同的兩點為對稱點
對稱軸為兩對稱點連線的中垂線
\(y=a(x+1)(x-7)\) 在 \(x\) 軸交點為 \((-1,0),(7,0)\)
對稱軸為 \((-1,0),(7,0)\)
的中垂線：\(x=3\)
\(y=b(x+1)(x-15)\) 在 \(x\) 軸交點為 \((-1,0),(15,0)\)
對稱軸為 \((-1,0),(15,0)\)
的中垂線：\(x=7\)
因此由 \(x=7\) 移到 \(x=3\) 為向左平移 4 單位
23.
答案
\((A)\)
詳解
小薰共出 \(1000+120=1120\) 元
阿輝共出 \(2000-1120＝880\) 元
兩人差 \(1120-880＝240\) 元
所以 6 杯 240 元，1 杯 40 元
阿輝買了 \(880\div 40=22\) 杯
24.
答案
\((B)\)
詳解
水的總體積不變
注意隔板是歪的，右邊上底為梯形
設寬為 \(x\)
左邊的水體積
\(=(130+70-90+130)\times x \div 2 \times
40=4800x\)
右邊的水體積
\(=(90+70)\times x \div 2 \times
50=4000x\)
抽出後水高
\(=(4800x+4000x)\div (130+70)\div
x=44\)
25.
答案
\((B)\)
詳解
依序為 \(10,\ 0.1,\ 0.01,\ 0.1,\ 10,\
100,...\)
由此可觀察出每六次就回到 100，
因此 \(100 \div 6=16...4\)
經過16次循環，還剩下4次
第4次為 0.1
26.
答案
\((D)\)
詳解
正方形 \(ABCD\) 面積為 \(16\)，邊長為 \(4\)
正方形 \(BPQR\) 面積為 \(25\)，邊長為 \(5\)
連 \(\overline{BS}\)
\(\overline{AR}=\sqrt{5^2-4^2}=3\)
\(\Rightarrow
\overline{DR}=\overline{AD}-\overline{AR}=4-3=1\)
\(\overline{BS}^2=\overline{RS}^2+5^2=\overline{BC}^2+(4-x)^2\)
\(\Rightarrow
x^2+1^2+5^2=4^2+(4-x)^2\)
\(\Rightarrow x=\frac34\)
四邊形\(BCRS=\)正方形\(ABCD-\triangle ABR-\triangle DRS\)
\(4^2-3\times 4\div 2-x\div 2\)
\(10-\frac{x}{2} = 10-\frac{3}{8} =
\frac{77}{8}\)
第二部分:非選擇題(第1 ~ 2 題)
1.
答案
\((1)\) 甲583票，乙337票，丙596票 \((2)\) 甲有，乙沒有
詳解
\((1)\)
甲：200＋286＋97＝583
乙：211＋85＋41＝337
丙：147＋244＋205＝596
\((2)\)
第四投開票所還有 \(250\) 張票未開
若 \(250\) 張全部投給甲，則甲得票數為
\(583+250＝833\)，大於乙、丙得票數，因此甲有機會當選。
若 \(250\) 張全部投給乙，則乙得票數為
\(337+250＝587\)，小於丙得票數，因此乙沒有機會當選。
2.
答案
\((1)\) 30 \((2)\) 見詳解
詳解
\((1)\)
\(C(6,0)\) 代入 \(5x-3y=k\)
\(\Rightarrow 5\times 6-3\times
0=k\)
\(\Rightarrow k=30\)
\((2)\)
設\(D(0,d)\) 代入 \(5x-3y=30\)
\(\Rightarrow -3d=30 \Rightarrow
d=-10\)
\(\overline{OA}:\overline{OC}=\overline{OB} :\overline{OD}\)
\(\Rightarrow 3:6=5:10\)
\(\angle AOB=\angle
COD=90^{\circ}\)
\(\therefore \triangle AOB\sim\triangle
COD(SAS)\)