年度解析+等級對照表
103 年會考數學解析：決勝「高壓區間」與「邏輯論證」
103 年會考數學試題展現了強大的鑑別度，整體難度位居近年高位。
全卷高壓分布：全卷有多達 12 題通過率低於 0.5。這意味著將近一半的試題對考生而言具備相當難度，鑑別度不再侷限於壓軸題，而是散布在整份試卷中。
非選題的轉型挑戰：本年度兩題非選擇題皆屬於「論證說明題」。考生不再只需列式計算，更需具備將直覺轉化為嚴謹文字敘述的能力，對「數學溝通素養」提出了最高要求。
NUMA 策略提醒： 面對這類高難度年度，勝負關鍵在於能否在選擇題的高壓下保持體力，並在非選題中寫出邏輯清晰的推導過程。
等級加標示與答對題數對照表
各科等級加標示人數百分比統計表
103年會考-數學詳解
第一部分：選擇題（1~27題）
1.
答案
\((D)\)
詳解
\(\Rightarrow (\sqrt6+5\sqrt6)\times
\sqrt3\)
\(=(6\sqrt6)\times \sqrt3\)
\(=18\sqrt2\)
2.
答案
\((C)\)
詳解
質因數的次數不可高於原式。
3.
答案
\((C)\)
詳解
\(\overline{AE}=\sqrt{10^2-8^2}=6\)
\(\overline{AD}//\overline{BC}\Rightarrow
\angle E=\angle DAE=90^\circ\)
\(\overline{AD}=\sqrt{(6\sqrt3)^2-6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2\)
4.
答案
\((A)\)
詳解
取出的二位數可能為：
\(45,\ 54,\ 46,\ 64,\ 56,\ 65\)
六種
其中 6 的倍數有 \(54\) 一種
所以機率為 \(\frac16\)
5.
答案
\((A)\)
詳解
\(\Rightarrow 743\times (370-1)-741\times
370\)
\(=743\times 370-743-741\times
370\)
\(=370\times (743-741)-743\)
\(=370\times 2-743\)
\(=740-743\)
\(=-3\)
6.
答案
\((A)\)
詳解
第二式代入第一式：
\(5x-\frac15x=5\)
\(\Rightarrow \frac{24}{5}x=5\)
\(\Rightarrow x=\frac{25}{24}\)
\(y=\frac15x=\frac15\times
\frac{25}{24}=\frac{5}{24}\)
\(a+b=x+y=\frac{25}{24}+\frac{5}{24}=\frac{30}{24}=\frac{5}{4}\)
7.
答案
\((C)\)
詳解
10 元可買 0.5 公斤
250 元可買 \(250\div 10\times
0.5=12.5\) 公斤
\(15-12.5=2.5\)
8.
答案
\((A)\)
詳解
9.
答案
\((C)\)
詳解
\(F\) 到 \(y\) 軸 (\(\overline{DE}\)) 的距離 \(=\) \(A\)
到 \(\overline{BC}\) 的距離
\(\Rightarrow 1-(-3)=4\)
10.
答案
\((B)\)
詳解
\(\angle A=180^\circ-\angle B-\angle
C=180^\circ-74^\circ-46^\circ=60^\circ\)
\(\Rightarrow
\overset{\Large\frown}{BC}=120^\circ\)
中垂線平分 \(\overset{\Large\frown}{BC}\)，且中垂線段過圓心為直徑。
\(\Rightarrow
\overset{\Large\frown}{AD}+\overset{\Large\frown}{AB}+\frac12\overset{\Large\frown}{BC}=180^\circ\)
\(\Rightarrow
\overset{\Large\frown}{AD}+46^\circ\times 2+\frac12\times
120^\circ=180^\circ\)
\(\Rightarrow
\overset{\Large\frown}{AD}=28^\circ\)
11.
答案
\((B)\)
詳解
\(2\sqrt{39}=\sqrt{156}<12.5\)
\(-1.5<11-2\sqrt{39}<-1\)
所以 \(B\) 點最接近
12.
答案
\((B)\)
詳解
\(\triangle ACG\) 面積 \(=8\times (6+9)\times \frac12=60\)
\(\triangle ADC : \triangle ADG=\overline
{CD}:\overline{DG}=\overline{CF}:\overline{BF}=6:9=2:3\)
\(\Rightarrow \triangle
ADC=\frac{2}{2+3}\triangle ACG=\frac25\times 60=24\)
13.
答案
\((A)\)
詳解
14.
答案
\((B)\)
詳解
\(1.36\times 10^{18}\times
0.3\%\)
\(=1.36\times 10^{18}\times 3\times
10^{-3}\)
\(=4.08\times 10^{15}\)
15.
答案
\((D)\)
詳解
16.
答案
\((B)\)
詳解
\(\overline{OC}=\overline{OA}-\overline{AC}=2+1-\overline{AC}=3-\overline{AC}\)
\(\overline{OE}=\overline{OG}+\overline{EG}=1+\overline{EG}=1+\overline{AC}\)
\(\overset{\Large\frown}{CD}+\overset{\Large\frown}{EF}=2\pi\times
(3-\overline{AC})\times \frac{60^\circ}{360^\circ}+2\pi\times
(1+\overline{AC})\times \frac{60^\circ}{360^\circ}\)
\(=2\pi\times
\frac16(3-\overline{AC}+1-\overline{AC})\)
\(=\frac13\pi\times 4\)
\(=\frac43\pi\)
17.
答案
\((C)\)
詳解
\(\Rightarrow
(3x+2)(-x^6+3x^5-2x^6+x^5)+(x+1)(3x^6-4x^5)\)
\(=(3x+2)(-3x^6+4x^5)+(x+1)(3x^6-4x^5)\)
\(=-(3x+2)(3x^6-4x^5)+(x+1)(3x^6-4x^5)\)
\(=(3x^6-4x^5)(-3x-2+x+1)\)
\(=(3x^6-4x^5)(-2x-1)\)
\(=-(3x^6-4x^5)(2x+1)\)
18.
答案
\((C)\)
詳解
\(\overline{PB}=\overline{PC}\)
(中垂線性質)
\(\Rightarrow \angle PBC=\angle
PCB\)
\(\angle PBA=\angle PBC\)
(角平分線)
設 \(\angle PBA=\angle PBC=\angle
PCB=x^\circ\)
\(\angle A+\angle ABC+\angle
ACB=180^\circ\)
\(\Rightarrow
60^\circ+2x^\circ+x^\circ+24^\circ=180^\circ\)
\(\Rightarrow 3x^\circ=96^\circ\)
\(\Rightarrow x=32\)
19.
答案
\((C)\)
詳解
設甲、乙、丙的高度變為 \(3r,\ 4r,\
5r\)
水的總體積不變：
\(60\times 10+80\times 10+100\times
10=60\times 3r+80\times 4r+100\times 5r\)
\(\Rightarrow 2400=1000r\)
\(\Rightarrow r=2.4\)
甲的高度：\(3r=3\times 2.4=7.2\)
20.
答案
\((D)\)
詳解
\(\overline{BA}=\overline{BD}\Rightarrow
\triangle ABD\) 為等腰三角形
\(\Rightarrow \angle
ADB=\frac12(180^\circ-40^\circ)=70^\circ\)
\(\overline{CA}=\overline{CE}\Rightarrow
\triangle ACE\) 為等腰三角形
\(\Rightarrow \angle
AEC=\frac12(180^\circ-36^\circ)=72^\circ\)
\(\angle AEC > \angle ADB\Rightarrow
\overline {AD} > \overline {AE}\)
\(\angle B > \angle C\Rightarrow
\overline{AC} > \overline {AB}\)
\(\overline{BE}=\overline{BD}-\overline{DE}=\overline{AB}-\overline{DE}\)
\(\overline{CD}=\overline{CE}-\overline{DE}=\overline{AC}-\overline{DE}\)
\(\because \overline{AC} > \overline
{AB}\therefore \overline{CD} > \overline {BE}\)
21.
答案
\((D)\)
詳解
重心 \(G\) \(\Rightarrow
\triangle AGB=\triangle BGC=\triangle CGA\)
\(\Rightarrow \overline{AB}\times
\overline{GD}=\overline{BC}\times \overline{GE}=\overline{AC}\times
\overline{GF}\)
\(\because \overline{GD}<\overline{GE}=
\overline{GF}\)
\(\therefore \overline{AB}>\overline{BC}=
\overline{AC}\)
22.
答案
\((C)\)
詳解
設有 \(x\) 人
包廂計費：\(900\times
6+99x=5400+99x\)
人數計費：\(540x+80\times(6-3)x=780x\)
\(5400+99x < 780x\)
\(\Rightarrow 5400 < 681x\)
\(\Rightarrow x > \frac{5400}{681}\approx
7.9\)
所以至少有 8 人
23.
答案
\((A)\)
詳解
\(a_1+a_4+a_7=3a_4=36\) (\(a_4\) 為 \(a_1\)、\(a_7\) 的等差中項)
\(\Rightarrow a_4=12\)
前九項的中項為 \(a_5\)
前九項和 \(=9a_5=54\Rightarrow
a_5=6\)
公差 \(=a_5-a_4=6-12=-6\)
24.
答案
\((B)\)
詳解
一組對邊平行且等長，即為平行四邊形。
\((A)\)
同側內角互補，所以上邊//下邊，但不確定上邊 ＝ 下邊。
\((B)\)
同側內角互補，所以上邊//下邊，且 \(5\)
為距離，所以四角皆 \(90^\circ\)
為平行四邊形。
25.
答案
\((D)\)
詳解
乙箱 40 號球為第 25顆，所以有 24 顆球小於 40，有 24 顆球大於
40。
\(a=39-24=15\)
\(b=(98-40)-24=34\)
26.
答案
\((D)\)
詳解
$a<0$ 開口向下
\(0 < h < 10\Rightarrow\) 頂點
\(x\) 坐標 \(h\) 在 0~10 之間
由 \((0,5)\), \((10,8)\) 可知頂點 \(x\) 坐標 \(h>
5\)
只有 \((D)\) 符合
27.
答案
\((B)\)
詳解
作高 \(\overline{PM}\) 交 \(\overline{AD}\) 於 \(N\) \(\Rightarrow\) 若 \(\overline{PM}=2\overline{AB}\) 則 \(\triangle ABC=\) 矩形 \(ABCD\) 面積
所以只要證明 \(\overline{PM}\) 是否等於
\(2\overline{AB}\) 即可
(甲)：\(\angle A=\angle
N=90^\circ\)，\(\angle AOB=\angle
PON\) (對頂角)
\(\Rightarrow \triangle AOB \sim \triangle
NOP\) (AA)
\(\overline{AO} > \overline{DO}\Rightarrow
\overline{AB} > \overline{PN}\)
\(\therefore \overline{PM} <
2\overline{AB}\)
所以甲錯誤
(乙)：\(\overline{AP} = \overline{AB}\)
(半徑)
\(\overline{AP} > \overline{PN}\)
(直角三角形斜邊最大)
\(\therefore \overline{PM} <
2\overline{AB}\)
所以乙錯誤
第二部分：非選擇題（1~2題）
1.
答案
見詳解
詳解
甲校男生有：\(60\%\times a\)
人
乙校男生有：\(50\%\times b\) 人
合併後男生應為：\(\frac{60\%a+50\%b}{a+b}\) 人
若 \(a=b\) 時： \(\frac{60\%a+50\%b}{a+b}\)
\(=\frac{60\%a+50\%a}{a+a}\)
\(=\frac{110\%a}{2a}\)
\(=55\%\)
小清的答案只在 \(a=b\) 的時候成立，當
\(a\neq b\) 時不成立。
2.
答案
見詳解
詳解
已知 \(\angle BCE=\angle ACD\Rightarrow
\angle3+\angle4=\angle4+\angle5 \Rightarrow
\angle3=\angle5\)
已知 \(\angle BAE=\angle
ACD=90^\circ\Rightarrow \angle1+\angle2=\angle2+\angle D=90^\circ
\Rightarrow \angle1=\angle D\)
又 \(\overline{BC}=\overline{CE}\)
（已知）
\(\therefore \triangle ABC \cong \triangle
DEC\) (AAS)