102年基測-數學詳解（分數對照在最下方）
選擇題 (1 ~ 34 題)
1.
答案
\((C)\)
詳解
\(\Rightarrow (-4)+6=2\)
2.
答案
\((D)\)
詳解
\(0\) 球 \(+1\) 球 \(+2\) 球的人數已超過一半，所以中位數應為
\(2\)。
眾數為占最多的 \(2\) 球。
3.
答案
\((D)\)
詳解
\(\sqrt{135}=\sqrt{9\times
15}=3\sqrt{15}\Rightarrow k=3\)
\(\sqrt{450}=\sqrt{225\times
2}=15\sqrt2\Rightarrow m=2\)
\(\sqrt{180}=\sqrt{36\times 5}=6\sqrt
5\Rightarrow n=5\)
\(m<k<n\)
4.
答案
\((A)\)
詳解
被除式 ＝ 除式 \(\times\) 商式 \(+\) 餘式
\((2x^2-3)\times (7x-4)+(-5x+2)\)
\(=14x^3-8x^2-21x+12-5x+2\)
\(=14x^3-8x^2-26x+14\)
5.
答案
\((B)\)
詳解
外套賣 \(x\) 件 \(\Rightarrow\) 襯衫＋褲子賣 \(200-x\) 件
\(0.6\times 250x+0.8\times
125(200-x)=24000\)
6.
答案
\((B)\)
詳解
\([65,104,260]=[5\times 13, 2^3\times 13,
2^2\times 5\times 13]=5\times 2^3\times 13=520\)
公倍數為最小公倍數的倍數，所以只有 \((B)\
1560\) 符合
7.
答案
\((C)\)
詳解
\(60\times \frac14=15\Rightarrow\)
第 15、16 人皆為 39 歲，\(\Rightarrow
Q1=39\)
\(60\times \frac34=45\Rightarrow\) 第
45、46 人皆為 58 歲，\(\Rightarrow
Q3=58\)
\(Q3-Q1=58-39=19\)
8.
答案
\((A)\)
詳解
\(y=-3(x^2-4x)-7\)
\(=-3(x-2)^2+12-7\)
\(=-3(x-2)^2+5\)
頂點 \((2, 5)\)
9.
答案
\((A)\)
詳解
(A) \(\angle5=\angle3\) (同位角)
\(\angle2=\angle A+\angle7\)
(外角定理)
\(\angle2+\angle5=(\angle
A+\angle7)+\angle3=\angle A+180^\circ > 180^\circ\)
(正確)
(B) \(\angle2+\angle3=\angle2+\angle5\)
同(A)
(C) \(\angle1+\angle6=\angle1+\angle4\)
(對頂角) \(=\angle1+\angle7\) (同位角)
\(< 180^\circ\)
(D) \(\angle3 +
\angle4=\angle3+\angle7=180^\circ\)
10.
答案
\((C)\)
詳解
\(\Rightarrow \sqrt{15\times
40}=\sqrt{600}\)
\(24^2=576\)
\(25^2=625\)
\(\sqrt{576}<\sqrt{600}<\sqrt{625}\)
\(24<\sqrt{600}<25\)
11.
答案
\((A)\)
詳解
\(A\) 到 \(x\) 軸距離為 \(3\Rightarrow A\) 的 \(y\) 坐標可能為 \(\pm 3\)
\(A\) 到 \(y\) 軸距離為到 \(x\) 軸距離的 \(3\) 倍 \(\Rightarrow A\) 的 \(x\) 坐標可能為 \(\pm 9\)
\(A\) 在第二象限，所以為 \((-9,3)\)
12.
答案
\((D)\)
詳解
\(\Rightarrow 12-2x+5 \geq
7x-3\)
\(\Rightarrow 17-2x \geq 7x-3\)
\(\Rightarrow 20 \geq 9x\)
\(\Rightarrow x \leq \frac{9}{20}\)
13.
答案
\((B)\)
詳解
設布丁 \(x\) 元，棒棒糖 \(y\) 元
\(2y = 20\Rightarrow y=10\)
\(2x+10y=200-20\)
\(\Rightarrow 2x+100=180\)
\(\Rightarrow x=40\)
\(x-y=40-10=30\)
14.
答案
\((C)\)
詳解
\(\triangle ABE\)
為直角三角形，斜邊上的中點為外心
\(\therefore
\overline{DA}=\overline{DB}=\overline{DE}=10\)
\(\overline{BE}=\sqrt{(\overline{AB})^2-(\overline{AE})}^2=\sqrt{20^2-16^2}=12\)
15.
答案
\((D)\)
詳解
\(\Rightarrow
(\frac{3\times7}{2\times13})^3\times(\frac{13}{2\times
7})^4\times(\frac{2^2}{3})^5\)
\(\Rightarrow
(\frac{3^3\times7^3\times13^4\times2^{10}}{2^3\times13^3\times2^4\times7^4\times3^5})\)
\(\Rightarrow
(\frac{2^{10}\times3^3\times7^3\times13^4}{2^7\times3^5\times7^4\times13^3})\)
\(\Rightarrow
(\frac{2^3\times13}{3^2\times7})\)
16.
答案
\((C)\)
詳解
圖(六)總面積即為乙的面積 \(=33\)
甲面積 \(=33\times\frac{3}{8+3}=9\)
圖(五)總面積 = 甲 ＋ 乙 \(=9+33=42\)
17.
答案
\((B)\)
詳解
如圖，根據圓切線性質，圓心到切點的連線即為半徑，長度為 \(5\)。
因為 \(\overline{DE}\) 與 \(\overline{DF}\) 為圓外一點 \(D\) 到圓的兩條切線段，
故其長度相等：
\(\overline{DE} =
\overline{DF} = 11 - 5 = 6\)。
18.
答案
\((B)\)
詳解
(A) \(\overline{AC}=\overline{AC}\)、\(\overline{AF}\neq\overline{CD}\)、\(\overline{CF}\neq\overline{AD}\)
(B) \(\overline{AD}=\overline{AD}\)、\(\overline{AE}=\overline{AC}\)、\(\overline{CD}=\overline{ED}\Rightarrow \triangle
ACD \cong \triangle AED\)
(C) \(\overline{AC}=\overline{AC}\)、\(\overline{BC}=\overline{CD}\)、\(\overline{AB}\neq\overline{AD}\)
(D) \(\overline{BC}=\overline{CD}\)、\(\overline{AD}=\overline{CF}\)、\(\overline{BF}\neq\overline{AC}\)
19.
答案
\((A)\)
詳解
\(\overline{BD}\) 為對稱軸，\(\triangle ABD \cong \triangle PBD\)
\(\triangle PBD = \triangle ABD = \triangle
ABC - \triangle DBC=80-50=30\)
\(\triangle PCD = \triangle DBC - \triangle
PBD =50-30=20\)
\(\overline{BP} : \overline{PC}=\triangle
PBD:\triangle PCD=30:20=3:2\)
20.
答案
\((B)\)
詳解
\(\triangle BCP\) 為等腰三角形
\(\angle BCP =\frac12
(180^\circ-70^\circ)=55^\circ\)
\(\angle MCP =90^\circ-\angle
BCP=90^\circ-55^\circ=35^\circ\)
21.
答案
\((C)\)
詳解
抽出的兩張牌共有 \(5\times 6=30\)
種
數字乘積為 3 的情形可分為以下兩點討論：
1、甲抽到 3：乙可為任一張，所以有 6 種
2、甲抽到不是 3： 則乙必須為 6 或 9，共有 \(4\times 2=8\) 種
\(6+8=14\)
機率 \(=\frac{14}{30}=\frac{7}{15}\)
22.
答案
\((A)\)
詳解
作圖可見為水平線，通過一、二象限
23.
答案
\((D)\)
詳解
\(\overline{BD}=\overline{BE}\) 且 \(\angle B =60^\circ\Rightarrow \angle
BED=\frac12(180^\circ-60^\circ)=60^\circ\)
\(\triangle BDE\) 為正三角形 \(\Rightarrow
\overline{BE}=\overline{DE}=6\)
\(\overline{CE}=\overline{BC}-\overline{BE}=18-6=12\)
延長 \(\overline{EF}\) 交 \(\overline{AC}\) 於 \(H\)
\(\because
\overline{DE}//\overline{AC}\) (同位角相等)
\(\therefore \angle H=180^\circ - \angle
DEF=180^\circ-90^\circ=90^\circ\) (同側內角)
\(\triangle CEH\) 為 30-60-90
直角三角形
\(\Rightarrow
\overline{EH}=\frac{\sqrt3}{2}\overline{CE}=\frac{\sqrt3}{2}\times
12=6\sqrt3\)
\(\overline{FH}=\overline{EH}-\overline{EF}=6\sqrt3-6\)
24.
答案
\((C)\)
詳解
\(22x^7-83x^6+21x^5\)
\(=x^5(22x^2-83x+21)\)
\(=x^5(2x-7)(11x-3)\)
25.
答案
\((B)\)
詳解
原圖面積 \(=(上+前+右)\times2=(6+3+2)\times2=22\)
(A) \((5+3+2)\times2=20\)
(B) \((5+3+2)\times2+2(補算凹進去的左右兩面)=22\)
(C) \((6+3+3)\times2=24\)
(D) \((6+4+2)\times2=24\)
26.
答案
\((B)\)
詳解
還原方程式：
\(x=\frac12\pm\frac12\sqrt7\)
\(\Rightarrow
x-\frac12=\pm\frac12\sqrt7\)
\(\Rightarrow (x-\frac12)^2=\frac14\times
7\)
\(\Rightarrow 4(x-\frac12)^2=7\)
\(a=4\)、\(b=\frac12\)
\(\Rightarrow
a+b=4+\frac12=\frac92\)
27.
答案
\((A)\)
詳解
設整袋石頭重 \(x\) 克，移動的石頭
\(y\) 克
\(x-y=x-10+y\)
\(\Rightarrow y=5\)
28.
答案
\((B)\)
詳解
以 1 代表深色牌，2 代表淺色牌
11122 \(\rightarrow\) 12121 \(\rightarrow\) 12211 \(\rightarrow\) 11212 \(\rightarrow\) 11122
洗 4 次就會回到初始狀態
所以只要洗牌次數為 4 的倍數，就會與圖十六相同。
29.
答案
\((A)\)
詳解
\(|a|=|b|\Rightarrow
\overline{AO}=\overline{BO}\)
\(\overline{AC}:\overline{CB}=1:3\)
\(\Rightarrow
\overline{AC}=\frac14\overline{AB}=\frac14\times 2|b|=\frac12
|b|\)
\(\Rightarrow
\overline{AO}-\overline{CO}=\frac12 |b|\)
\(\Rightarrow |a|-|c|=\frac12
|b|\)
\(\Rightarrow |b|-|c|=\frac12
|b|\)
\(\Rightarrow |c|=\frac12 |b|\)
30.
答案
\((D)\)
詳解
\(\angle1+\angle EAD=\angle2+\angle
EAD=90^\circ\)
\(\Rightarrow \angle1=\angle2\)
由直角 \(\triangle ABE\) 中，\(\overline{AE}>\overline{AB}\)，得知正方形\(ABCD\) 邊長小於正方形\(AEFG\)
\(\triangle ABG\) 中，\(\overline{AG} > \overline{AB}\Rightarrow
\angle3 > \angle4\)
31.
答案
\((C)\)
詳解
正五邊形一個內角為 \(108^\circ\)
(甲) \(\overline{BC}=\overline{CD}\Rightarrow
\angle1=\angle2=\frac12(180^\circ-108^\circ)=36^\circ\)
\(\Rightarrow \angle
ABP=108^\circ-36^\circ=72^\circ\)
同理 \(\angle
AEP=108^\circ-36^\circ=72^\circ\)
\(\angle
BPE=360^\circ-72^\circ-108^\circ-72^\circ=108^\circ\)
\(\angle A= \angle BPE\)、\(\angle ABP=\angle AEP\)
\(\Rightarrow\) 兩雙對角相等， 所以
\(ABPE\) 為平行四邊形
(乙) \(\overline{AM}\) 為 \(\angle A\) 的角平分線
\(\Rightarrow \angle BAP=\frac12\times
108^\circ=54^\circ\)
\(\overline {AB}=\overline {AP}\Rightarrow
\angle ABP=\angle
APB=\frac12(180^\circ-54^\circ)=63^\circ\)
同理 \(\angle AEP=63^\circ\)
\(\angle
BPE=360^\circ-63^\circ-108^\circ-63^\circ=126^\circ\)
\(\angle BPE\neq \angle A \Rightarrow\)
對角不相等，所以不是平行四邊形。
32.
答案
\((D)\)
詳解
\(A-B=101\times 9996\times
10005-10004\times 9997\times 101\)
\(=101\times(9996\times10005-10004\times9997)\)
\(=101\times[(9997-1)\times(10004+1)-9997\times
10004]\)
\(=101\times(9997\times
10004+9997-10004-1-9997\times 10004)\)
\(=101\times(9997-10004-1)\)
\(=101\times (-8)\)
\(=-808\)
33.
答案
\((D)\)
詳解
此題為三角形截比例線段性質與相似三角形
如圖，
\(\triangle ABC\sim \triangle GEC \sim
\triangle DEF\) (AA)
\(\overline{CE}:\overline{BC}=(3+7):(3+7+2)=10:12=5:6\)
\(\Rightarrow \triangle
GEC=(\frac56)^2\triangle ABC=\frac{25}{36}\triangle ABC\)
(面積比=邊長平方比)
\(\Rightarrow\) 甲 \(= (1-\frac{25}{36})\triangle
ABC=\frac{11}{36}\triangle ABC\)
\(\overline{EF}:\overline{BC}=7:12\)
\(\Rightarrow\) 乙 \(=\triangle DEF=(\frac{7}{12})^2\triangle
ABC=\frac{49}{144} \triangle ABC\)
丙 \(=1-\) 甲 \(-\) 乙 \(=
(1-\frac{11}{36}-\frac{49}{144})\triangle ABC=\frac{51}{144}\triangle
ABC\)
\(\Rightarrow\) 甲 < 乙 < 丙
34.
答案
\((A)\)
詳解
\(\overline{AD}//\overline{OC}\)
\(\Rightarrow \angle BAD=\angle
BOC\)
\(\Rightarrow
\overset{\LARGE{\frown}}{BD}=2\overset{\LARGE{\frown}}{BC}\)
\(\Rightarrow
\overset{\LARGE{\frown}}{BC}=\overset{\LARGE{\frown}}{CD}=62^\circ\)
\(\overset{\LARGE{\frown}}{AD}=180^\circ-62^\circ\times
2=56^\circ\)
年度解析+等級對照表
答對題數與等級對照表
各科各等級人數比例
